Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tìm m để bất phương trình có nghiệm sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 2 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm tổng hợp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo 9 bài tập có đáp án giải chi tiết và 21 bài tập tự luyện. Qua bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm giúp các bạn học sinh lớp 10 củng cố kiến thức cơ bản biết vận dụng vào giải các bài toán tìm m để bất phương trình có nghiệm. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu tìm m để phương trình vô nghiệm, công thức tính độ dài trung tuyến.

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

• f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}) . Nghĩa là _{(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
  {a < 0} \
  {Delta leqslant 0}
  end{array}} right.)}
• f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}). Nghĩa là _{(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
  {a > 0} \
  {Delta leqslant 0}
  end{array}} right.)}
• f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}). Nghĩa là _{(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
  {a < 0} \
  {Delta < 0}
  end{array}} right.)}
• f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}). Nghĩa là _{(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
  {a > 0} \
  {Delta < 0}
  end{array}} right.)}

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m – 1)x² + 2mx – 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).

Hướng dẫn giải

Đặt (m – 1)x² + 2mx – 3 = f(x)

TH1: m – 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x – 3 > 0⇒ (x > frac{3}{2}) (Loại)

TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \
{Delta < 0}
end{array}} right.)

(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m – 1 > 0} \
{4{m^2} + 12m – 12 < 0}
end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m > 1} \
{m in left( {dfrac{{ – 3 – sqrt {21} }}{2};dfrac{{ – 3 + sqrt {21} }}{2}} right)}
end{array} Leftrightarrow m in emptyset } right.} right.)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).

a. (m – 3)x² + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m – 3)x² + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m – 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \
{Delta < 0}
end{array}} right.)

(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m – 3 < 0} \
{{m^2} – 6m + 25 < 0}
end{array}} right.)

Ta có: m² – 6m + 25 = (m – 3)² + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R})

b. Đặt (m – 1)x² + (m – 3)x + 4 = f(x)

TH1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \
{Delta < 0}
end{array}} right.)

(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m – 1 > 0} \
{{m^2} – 6m + 25 < 0}
end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m > 1} \
{m in left( {11 – 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right)}
end{array}} right.} right. Leftrightarrow m in left( {11 – 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right))

Vậy (m in left( {11 – 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right)) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x² – 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x² – 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn ({{x}_{1}}le 1<2le {{x}_{2}}

Leftrightarrow left{ begin{matrix}

kf(0)le 0 \

kf(1)le 0 \

end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}

{{m}^{2}}+2mle 0 \

{{m}^{2}}-1le 0 \

end{matrix}Leftrightarrow -1le mle 0 right.)

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² – 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

(Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0Leftrightarrow left| m right|>sqrt{2}Leftrightarrow)_{(left{begin{matrix} m>sqrt{2} \ -2 < m <-sqrt{2} end{matrix}right.)}

Vậy với |m| < (sqrt{2}) thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x – mx < 4 ⇔ (m² – m)x < 1; m² – m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² – m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành _{(x<frac{1}{m^{2}-m})} luôn có nghiệm là _{(x<frac{1}{m^{2}-m})}

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m – 1)x – 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:(left{ begin{matrix}f(-1)le 0 \f(1)le 0 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3le 0 \{{m}^{2}}+2m-5le 0 \end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix}-1le mle 3 \-sqrt{6}le mle sqrt{6}-1 \end{matrix} right. right.)

⇔ -1 ≤ m ≤ (sqrt 6) – 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; (sqrt{6}) – 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² – 2mx + 2m – 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = – 4 thì bất phương trình trở thành: 8x – 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với _{(mne -4 Rightarrow f(x) < 0,forall x
Leftrightarrow left{ begin{matrix}}

a<0 \
Delta ‘< 0 \

end{matrix}right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix}

m<-4 \

{{m}^{2}}-(m+4)(2m-6)<0 \

end{matrix}right.)

(Rightarrowleft{ begin{matrix}

m<-4 \

min (-infty ,-4)cup (6,+infty ) \
end{matrix}left{ begin{matrix}

m<-4 \

min (-infty ,-4)cup (6,+infty ) \

end{matrix}right. right.)(Leftrightarrow m<-4)

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

(begin{align}

& left| x-x’ right|=2 \

& Leftrightarrow left{ begin{matrix}

Delta ‘>0 \

left| dfrac{sqrt{Delta }}{a} right|=2 \

end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}

1-m>0 \

sqrt{1-m}=2 \

end{matrix}Leftrightarrow m=-3 right. \

end{align})

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ’ = m² – m

Trường hợp 1: Δ’ ≤ 0 ⇔ m² – m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ’ > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

(left{ begin{matrix}

Delta ‘>0 \

a.f(0)ge 0 \

dfrac{S}{2}<0 \

end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}

{{m}^{2}}-m>0 \

mge 0 \

-m<0 \

end{matrix} right.Leftrightarrow m>1)

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8: Tìm m để bất phương trình ((m + 4){x^2} – 2mx + 2m – 6 < 0) có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: (8x – 14 < 0,forall x) (loại)

Với (m ne – 4) thì (f(x) < 0,forall x)

(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \
{Delta ‘ < 0}
end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m < – 4} \
{{m^2} – (m + 4)(2m – 6) < 0}
end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m < – 4} \
{m in ( – infty , – 4) cup (6, + infty )}
end{array} Leftrightarrow m < – 4} right.} right.)

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4

Bài 9: Tìm m để bất phương trình ((m + 2){x^2} – 2mx + {m^2} + 2m leqslant 0) có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

TH1: Với (m + 2 = 0 Leftrightarrow m = – 2) ta được:

(1) (Leftrightarrow 4x + 4 < 0 Leftrightarrow x < – 1)

Bất phương trình vô nghiệm

TH2: Với (m < – 2)

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

TH3: (m + 2 > 0 Leftrightarrow m > – 2). Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:

(Leftrightarrow Delta > Leftrightarrow {m^2} – 2 > Leftrightarrow left| m right| > sqrt 2 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m > sqrt 2 } \
{ – 2 < m < – sqrt 2 }
end{array}} right.)

Vậy với (left| m right| < sqrt 2) thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 9 Tìm m để bất phương trình ({m^2}x + 3 < mx + 4) có nghiệm

Gợi ý đáp án

Bất phương trình tương đương với:

({m^2}x – mx < 4 – 3 Leftrightarrow left( {{m^2} – m} right)x < 1)

Với ({m^2} – m = 0 Leftrightarrow m = { 0;1}) thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với ({m^2} – m = 0 ne 0 Leftrightarrow m ne { 0;1}) thì bất phương trình trở thành (x < frac{1}{{{m^2} – m}}) luôn có nghiệm là (x < frac{1}{{{m^2} – m}})

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x² – 2mx + 3m – 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx² – 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x² – 2x + 1 – m² ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m – 1)x² + (2 – m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m – 2)x² + 2(m + 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m² – 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x² + (m – 1)x – m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m – 2)x² + 2mx – 2 – m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = – (m² + 2)x² – 2mx + 1 – m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx² – (1 – 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0)_.

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x² – x + m > 0

b. mx² – 10x – 5 < 0

c. m(m+2)x² – 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 3m – 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}): (m – 5)x² – 2x + m + 1 > 0

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. ({x^2} + 2left( {m – 1} right)x + m + 4 > 0)	b. ({x^2} + left( {m + 1} right)x + 2m + 7 > 0)
c. (m{x^2} + left( {m – 1} right)x + m – 1 < 0)	d. (left( {m + 2} right){x^2} – 2left( {m – 1} right)x + 4 > 0)

Bài 14: Cho bất phương trình: (frac{{2m{x^2} + 2left( {m – 1} right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} geqslant 1)

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).

Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

a. ({x^2} – 2left( {m – 2} right)x + 2left( {{m^2} – 2x + 2} right) > 0)

b. (m{x^2} + left( {m – 1} right)x + m – 1 leqslant 0)

c. (left( {m – 1} right){x^2} – 2left( {m + 1} right) + 3left( {m – 2} right) geqslant 0)

Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² – (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.

Bài 17: Tìm m để phương trình: (m² + m + 1)x² + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 18 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

(a) (m-5) x^{2}-4 m x+m-2=0)

(b) (m-2) x^{2}+2(2 m-3) x+5 m-6=0)

(c) (3-m) x^{2}-2(m+3) x+m+2=0)

(d) (1+m) x^{2}-2 m x+2 m=0)

(e) (m-2) x^{2}-4 m x+2 m-6=0)

(f) left(-m^{2}+2 m-3right) x^{2}+2(2-3 m) x-3=0)

Bài 18. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :

(a) 3 x^{2}+2(m-1) x+m+4>0)

(b) x^{2}+(m+1) x+2 m+7>0)

(c) 2 x^{2}+(m-2) x-m+4>0)

(d) m x^{2}+(m-1) x+m-1<0)

(e) (m-1) x^{2}-2(m+1) x+3(m-2)>0)

(f) left|3(m+6) x^{2}-3(m+3) x+2 m-3right|>3)

Bài 19 Nghiệm x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?