Tìm m để bất phương trình vô nghiệm Điều kiện để bất phương trình vô nghiệm

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm là tài liêu vô cùng hữu ích mà Thcslytutrongst.edu.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương pháp, điều kiện, ví dụ và các dạng bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Công thức tính độ dài đường trung tuyến.

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

I. Điều kiện để bất phương trình vô nghiệm

Cho hàm số _{(fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c:)}

_(f(x)<0) vô nghiệm với _{(forall xin mathbb{R}Leftrightarrow f(x)ge 0)} có nghiệm với _{(forall xin mathbb{R})}

(Rightarrow left[ begin{matrix}

a=0 \

left{ begin{matrix}

a>0 \

Delta le 0 \

end{matrix} right. \

end{matrix} right.)

_(f(x)>0) vô nghiệm với _{(forall xin mathbb{R}Leftrightarrow f(x)le 0)} có nghiệm với _{(forall xin mathbb{R})}

(Rightarrow left[ begin{matrix}

a=0 \

left{ begin{matrix}

a<0 \

Delta le 0 \

end{matrix} right. \

end{matrix} right.)

_{(f(x)le 0)} vô nghiệm với _{(forall xin mathbb{R}Leftrightarrow f(x)>0)} có nghiệm với _{(forall xin mathbb{R})}

(Rightarrow left[ begin{matrix}

a=0 \

left{ begin{matrix}

a>0 \

Delta <0 \

end{matrix} right. \

end{matrix} right.)

_{(f(x)ge 0)} vô nghiệm với _{(forall xin mathbb{R}Leftrightarrow f(x)<0)} có nghiệm với _{(forall xin mathbb{R})}

(Rightarrow left[ begin{matrix}

a=0 \

left{ begin{matrix}

a<0 \

Delta <0 \

end{matrix} right. \

end{matrix} right.)

II. Ví dụ tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình (x^{2}-2 m x+4 m-3 leq 0)vô nghiệm.

(A.m in(1 ;+infty)
begin{array}{ll}text { B. } m in(-infty ; 1) cup(3 ;+infty) . & text { C.m } in[1 ; 3] text {. }end{array})

(D. m in(1 ; 3).)

Lời giải :

Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi

(x^{2}-2 m x+4 m-3>0, forall x in mathbb{R})

(Leftrightarrowleft{begin{array}{l}a=1>0 text { (luôn đúng) } \ triangle^{prime}=m^{2}-1(4 m-

3)<0end{array}right.)

(Leftrightarrow m^{2}-4 m+3<0)

⇒1<m<3.

Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình ((m-1) x^{2}-2(m-2) x+3 m-4 geq 0)vô nghiệm.

A.(m in(0 ; 1) . quad)

B. (m in(1 ;+infty).)

C.(m in(-infty ; 0).)

D. (m in(-infty ; 1).)

Lời giải :

Vì hệ số của (x^{2})còn phụ thuộc m nên ta xét hai trường hợp sau :

+ Trường hợp 1: (m-1=0 Leftrightarrow m=1) bất phương trình đã cho trở thành (2 x-1 geq 0 Leftrightarrow x geq frac{1}{2}.) Vậy bất phương trình có nghiệm (x geq frac{1}{2}). Do đó m=1 không tỏa mãn yêu cầu bài toán.

(begin{aligned}
&text { + Trường hợp 2: } m-1 neq 0 Leftrightarrow m neq 1 text {.Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi }\
&(m-1) x^{2}-2(m-2) x+3 m-4<0, forall x in mathbb{R}\
&Leftrightarrowleft{begin{array}{l}
a=m-1<0 \
Delta^{prime}=(m-2)^{2}-(m-1)(3 m-4)<0
end{array}right.\
&Leftrightarrowleft{begin{array}{l}
m<1 \
m^{2}-4 m+4-3 m^{2}+4 m+3 m-4<0
end{array}right.\
&Leftrightarrowleft{begin{array}{l}
m<1 \
-3 m^{2}+3 m<0
end{array}right.\
&Leftrightarrowleft{begin{array}{l}
m<1 \
m in(-infty ; 0) cup(1 ;+infty)
end{array} Leftrightarrow m in(-infty ; 0) .right. text { Chọn C. }
end{aligned})

Ví dụ 3: Tìm m để BPT _{(left( m+2 right){{x}^{2}}+left( m+3 right)x-m>0)} vô nghiệm với mọi _{(xin mathbb{R})}

Lời giải

TH1:_{(m+2=0Leftrightarrow m=-2}

Leftrightarrow -x+2>0)

Vậy m = -2 thì bất phương trình có nghiệm

TH2:_{(m+2ne 0Leftrightarrow mne -2)}

Để bất phương trình _(f(x)>0) vô nghiệm (xin mathbb{R}) thì _{(f(x)le 0)} có nghiệm với _{(xin mathbb{R})}

(Leftrightarrow left{ begin{matrix}

a<0 \

Delta le 0 \

end{matrix} right.

Rightarrow left{ begin{matrix}

m+2<0 \

{{(m+3)}^{2}}+4left( m+2 right)le 0 \

end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}

m<-2 \

5{{m}^{2}}+14m+9le 0 \

end{matrix} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{matrix}

m <-2 \

min [dfrac{-9}{5};-1] \

end{matrix}right.)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Cho bất phương trình _{(m{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-mx+4>0)}. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm _{(forall xin mathbb{R})}

Lời giải

TH1:(m=0Leftrightarrow 4>0) (loại)

TH2:(mne 0)

Để bất phương trình _(f(x)>0) vô nghiệm _{(xin mathbb{R})} thì _{(f(x)le 0)} có nghiệm với mọi _{(xin mathbb{R})}

(Leftrightarrow left{ begin{matrix}

a<0 \

Delta le 0 \

end{matrix} right.

Rightarrowleft{ begin{matrix}

m<0 \

Delta le 0 \

end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}

m<0 \

{{m}^{2}}-4mleft( 4-{{m}^{2}} right)le 0 \

end{matrix}Leftrightarrow min (-infty ,frac{-1-sqrt{257}}{8}] right.$)

Vậy BPT vô nghiệm khi (min (-infty ,frac{-1-sqrt{257}}{8}])

Ví dụ 5: Cho bất phương trình _{(m{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+m+7le 0)}. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm _{(forall xin mathbb{R})}

Lời giải

TH1:_{(m=0Leftrightarrow 7le 0)} (loại)

TH2:_{(mne 0)}

Để bất phương trình _{(f(x)le 0)} vô nghiệm (xin mathbb{R}) thì _(f(x)>0) có nghiệm với mọi _{(xin mathbb{R})}

(Leftrightarrow left{ begin{matrix}

a>0 \

Delta <0 \

end{matrix} right.)

_{(left{ begin{matrix}}

m>0 \

Delta ‘<0 \

end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix}

m<0 \

{{left( m+1 right)}^{2}}-mleft( m+7 right)<0 \

end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix}

m<0 \

-5m+1<0 \

end{matrix} right. right.)(vô lí)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm.

III. Bài tập tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Bài 1: Cho bất phương trình: (m + 1)x² – (2m + 1)x + m – 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau: mx² – 2(m + 1) + m + 7 < 0 vô nghiệm.

Bài 3: Cho bất phương trình: x² + 6x + 7 + m ≤ 0. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình (m² – x)x + 3 < 6x – 2 vô nghiệm.

Bài 5: Tìm tát cả các giá trị của m để bất phương trình (4m2 + 2m + 1) – 5m ≥ 3x – m – 1 có tập nghiệm thuộc [ -1; 1]

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 2(m + 1)x + 9m – 5 < 0. Tìm các giá trị thực của m để bất phương trình vô nghiệm.

Bài 7: Tìm tham số m để bất phương trình |x – 2| – m + 9 ≤ 0 vô nghiệm.