Bạn đang xem bài viết Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9 tại Puto.edu.vnbạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10.
Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm nghiệm của phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm trái dấu. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.
I. Lý thuyết tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu
1. Định lý Vi-ét:
Nếu phương trình 
(a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)) có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) phân biệt thì (left{ begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = frac{{ – b}}{a}\
P = {x_1}{x_2} = frac{c}{a}
end{array} right.)
+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu (Leftrightarrow P < 0)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta > 0\
P > 0
end{array} right.)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta > 0\
P > 0\
S > 0
end{array} right.)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta > 0\
P > 0\
S < 0
end{array} right.)
II. Ví dụ tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu
Ví dụ: Tìm m để phương trình ({x^2} – left( {2m + 3} right)x + m = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm (Leftrightarrow left{ begin{gathered}
Delta > 0 hfill \
P > 0 hfill \
S < 0 hfill \
end{gathered} right.)
Gợi ý đáp án
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta > 0\
P > 0\
S < 0
end{array} right.)
Với (Delta > 0 Leftrightarrow {left( {2m + 3} right)^2} – 4m > 0)
(begin{array}{l}
Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 – 4m > 0\
Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\
Leftrightarrow 4left( {{m^2} + 2m + 1} right) + 5 > 0\
Leftrightarrow 4{left( {m + 1} right)^2} + 5 > 0forall m
end{array})
Với (P > 0 Leftrightarrow m > 0)
Với (S < 0 Leftrightarrow 2m + 3 < 0 Leftrightarrow m < frac{{ – 3}}{2}) kết hợp với m > 0
Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
III. Bài tập tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu (Có đáp án)
Bài 1: Tìm m để phương trình ({x^2} – left( {{m^2} + 1} right)x + {m^2} – 7m + 12 = 0) có 2 nghiệm trái dấu
Gợi ý đáp án
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu (Leftrightarrow P < 0).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu (Leftrightarrow P < 0)
(begin{array}{l}
Leftrightarrow {m^2} – 7m + 12 < 0\
Leftrightarrow left( {m – 3} right)left( {m – 4} right) < 0
end{array})
Xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: (left{ begin{array}{l}
m – 3 > 0\
m – 4 < 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m > 3\
m < 4
end{array} right. Leftrightarrow 3 < m < 4)
Trường hợp 2: (left{ begin{array}{l}
m – 3 < 0\
m – 4 > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 3\
m > 4
end{array} right.)(vô lý)
Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 2: Tìm m để phương trình (3{x^2} – 4mx + {m^2} – 2m – 3 = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu (Leftrightarrow left{ begin{gathered}
Delta ‘ > 0 hfill \
P > 0 hfill \
end{gathered} right.).
Gợi ý đáp án
(3{x^2} – 4mx + {m^2} – 2m – 3 = 0)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt (Leftrightarrow Delta ‘ > 0)
Có (Delta ‘ = 4{m^2} – 3left( {{m^2} – 2m – 3} right))
(begin{gathered}
= 4{m^2} – 3{m^2} + 6m + 9 hfill \
= {m^2} + 6m + 9 hfill \
= {left( {m – 3} right)^2} > 0forall m ne 3 hfill \
end{gathered})
Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
(left{ begin{gathered}
{x_1} + {x_2} = frac{{ – b}}{a} = frac{{4m}}{3} hfill \
{x_1}{x_2} = frac{c}{a} = frac{{{m^2} – 2m – 3}}{3} hfill \
end{gathered} right.)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:
(P > 0 Leftrightarrow 3left( {{m^2} – 2m – 3} right) > 0)
Xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: (left{ begin{gathered}
m + 1 > 0 hfill \
m – 3 > 0 hfill \
end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered}
m > – 1 hfill \
m > 3 hfill \
end{gathered} right. Rightarrow m > 3)
Trường hợp 2: (left{ begin{gathered}
m + 1 < 0 hfill \
m – 3 < 0 hfill \
end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered}
m < – 1 hfill \
m < 3 hfill \
end{gathered} right. Rightarrow m < – 1)
Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Bài 3: Tìm m để phương trình ({x^2} – 2mx + 2m – 4 = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.
Hướng dẫn:
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương (Leftrightarrow left{ begin{gathered}
Delta ‘ > 0 hfill \
P > 0 hfill \
S > 0 hfill \
end{gathered} right.)
Gợi ý đáp án
Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta ‘ > 0\
P > 0\
S > 0
end{array} right.)
Với (Delta ‘ > 0 Leftrightarrow {m^2} – left( {2m – 4} right) > 0)
(begin{array}{l}
Leftrightarrow {m^2} – 2m + 4 > 0\
Leftrightarrow left( {{m^2} – 2m + 1} right) + 3 > 0\
Leftrightarrow {left( {m – 1} right)^2} + 3 > 0forall m
end{array})
Với (P > 0 Leftrightarrow 2m – 4 > 0 Leftrightarrow m > 2)
Với (S > 0 Leftrightarrow 2 > 0) (luôn đúng)
Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.
Bài 4: Không giải phương trình, chứng minh các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
a) x2 – 3x – 4 = 0
b) -2x2 + x +8 = 0
c) x2 – 8 = 0
Gợi ý đáp án
Vì a . c = 1 . (-4) = -4 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) -2x2 + x +8 = 0 ( a = -2 ; b = 1 ; c = 8)
Vì a . c = (-2) . 8 = -16 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) x2 – 8 = 0 ( a = 1 ; b = 0 ; c = -8)
Vì a . c = 1 . (-8) = -8 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 5: Chứng minh các phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m:
a) -x2 – 2x + m2 + 1 = 0 ( m là tham số)
b) (m2 + 1)x2 + 2mx – m2 = 0 ( m là tham số)
c) 2x2 – (m + 1)x – ( m2 + 4m + 5) = 0 ( m là tham số)
Gợi ý đáp án
a) -x2 – 2x + m2 + 1 = 0 ( a = -1; b = -2; c = m2 + 1 )
Ta có: a . c = (-1) . (m2 + 1) = -(m2 + 1)
Vì m2 0 với mọi m, nên m2 + 1 > 0 với mọi m
– ( m2 + 1 ) < 0 với mọi m
a . c < 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
b) (m2 + 1)x2 + 2mx – m2 = 0 ( a = m2 + 1; b = 2m ; c = -m2)
Ta có: a . c = (m2 + 1) . (-m2) = -m2 (m2 + 1)
Vì m2 0 với mọi m, nên m2 + 1 > 0 với mọi m
m2 (m2 +1) > 0 với mọi m
-m2 (m2 +1) < 0 với mọi m
a . c < 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
c) 2x2 – (m + 1)x – ( m2 + 4m + 5) = 0 ( a = 2; b = -(m + 1); c = -(m2 + 4m + 5))
Ta có: a . c = 2. [ -(m2 + 4m + 5)] = -2 ( m2 + 4m + 5) = -2 ( m2 + 4m + 4 +1) = -2 [ ( m + 2 )2 + 1]
Vì ( m + 2 )2 0 với mọi m
( m + 2 )2 + 1 >0 với mọi m
-2 [ ( m + 2 )2 + 1] < 0 với mọi m
Do đó: a . c < 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
IV. Bài tập tự luyện tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu
Bài 1: Tìm m để phương trình ({x^2} – 2left( {m + 1} right)x + m + 4 = 0) có hai nghiệm phân biệt:
| a) Trái dấu. | b) Cùng dấu. |
| c) Cùng dấu âm. | d) Cùng dấu dương. |
Bài 2: Tìm m để phương trình ({x^2} – 2mx – 6m – 9 = 0) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 13)
Bài 3: Tìm m để phương trình ({x^2} – left( {2m + 3} right)x + m = 0) có hai nghiệm phân biệt:
| a) Trái dấu. | b) Cùng dấu. |
| c) Cùng dấu âm. | d) Cùng dấu dương. |
Bài 4: Tìm m để phương trình ({x^2} – 8x + m + 5 = 0) có hai nghiệm phân biệt:
Bài 5: Tìm m để phương trình ({x^2} – 2mx + 5m – 4 = 0) có hai nghiệm phân biệt:
Bài 6: Tìm m để phương trình (2{x^2} + left( {2m – 1} right)x + m – 1 = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
Bài 7: Tìm m để phương trình ({x^2} – 2mx + 2m – 4 = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
Bài 8: Tìm m để phương trình ({x^2} – left( {m + 1} right)x + m = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
Bài 9: Tìm m để phương trình ({x^2} – 2left( {m + 1} right)x + m + 4 = 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương
Bài 10: Cho phương trình ({x^2} + left( {m + 2} right)x + m = 0). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Ôn tập Toán 9 tại Puto.edu.vnbạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
